如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點 .

  （I） 求證： 平面；

   （II） 求二面角的余弦值大��；

   （III）求證：平面⊥平面.

（Ⅰ）證明見解析（II）二面角的余弦值為．（III）證明見解析


解析:

（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié).

是正方形，∴ 是的中點. ----------1分

是的中點， ∴是的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

由故設，則

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

設平面的法向量為,

,

則  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值為． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年廣西省桂林中學高二下學期期中考試數(shù)學 題型：解答題

（（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知
．

（1）證明平面；
（2）求異面直線與所成的角的大�。�
（3）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆福建省三明市高三第一學期測試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點，是的中點.   　

(Ⅰ) 求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆上海市高二年級期終考試數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分16分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的大小；

（3）求二面角的大�。�

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省高二下學期期末考試附加卷數(shù)學卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱，為中點，作交于

（1）求PF：FB的值

（2）求平面與平面所成的銳二面角的正弦值。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學理 題型：解答題

(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（Ⅰ）當時，求證平面

（Ⅱ）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

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