Question

【題目】已知點與兩個定點距離的比是一個正數(shù).

（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）當時得曲線的方程，把曲線向左平移三個單位長度得到曲線，已知點，，點是曲線上任意一點,求的最小值；

（3）若直線與曲線交于C、D兩點，點是x軸上的點，使得恒為定值，求點P的坐標和定值.

Answer 1

【答案】（1）當時，，此時軌跡為軸所在的直線；

當時，可得：，此時軌跡為以為圓心，為半徑的圓;

（2）;（3）點P的坐標,定值為.

【解析】

（1）由題意得：, 對其化簡，分與進行討論可得答案；

（2）代入可得曲線的方程，由題意可得曲線的方程，點的坐標為，可得與，由平面向量和三角函數(shù)知識，可得的最小值；

（3）設(shè)C、D兩點坐標，，即，，聯(lián)立直線與圓，用與表示，由恒為定值，可得的值，可得答案.

解：（1）由題意得：，

化簡可得：，

當時，，此時軌跡為軸所在的直線；

當時，可得：，

此時軌跡為以為圓心，為半徑的圓;

（2）時，可得曲線的方程為：，

由曲線向左平移三個單位長度得到曲線，可得的方程為：，

點的坐標為，由點，，

可得，，

故可得：

，其中，

可得的最小值為：；

（3）由（2）可得曲線的方程為：，

由直線與曲線交于C、D兩點，設(shè)C、D兩點坐標，，

即，，

聯(lián)立直線與圓，可得

可得：，，

由點，可得，,

可得：，

可得，

由恒為定值，故與的值無關(guān)，故可得

點P的坐標,定值為.