Question

【題目】已知橢圓C：的焦距為2，左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)連線的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)P（m，0）作圓x2+y2＝1的一條切線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|的值最大時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意得，解方程組即可得解；

（Ⅱ）討論切線l的斜率存在和不存在，當(dāng)存在時(shí)設(shè)切線l方程為y＝k（x﹣m），與橢圓聯(lián)立得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，由直線與圓相切得，再利用弦長公式表示，從而得解.

（Ⅰ）由題意可知，解之得a＝2，b＝1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，當(dāng)|m|＝1時(shí)，．

當(dāng)|m|＞1時(shí)，易知切線l的斜率存在，設(shè)切線l方程為y＝k（x﹣m）．

由，得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，

由于過點(diǎn)P（m，0）的直線l與圓x2+y2＝1相切，得 ，；

所以 ．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，|MN|＝2，即|MN|的最大值為2．

故m的值為．