Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，上、下頂點(diǎn)為，，記四邊形的內(nèi)切圓為.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知圓的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線交橢圓于P，M兩點(diǎn).

（i）求證：；

（ii）試探究是否為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）是定值.

【解析】

（1）由已知可得：直線的方程為：，利用四邊形的內(nèi)切圓為可求得內(nèi)切圓的半徑，問(wèn)題得解。

（2）（i）設(shè)切線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得，所以，問(wèn)題得證。

（ii）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得：，同理可得：，問(wèn)題得解。

（1）因?yàn)?/span>，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則，坐標(biāo)分別為，可得直線的方程為：

則原點(diǎn)O到直線的距離為，則圓的半徑，

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）（i）可設(shè)切線，

將直線的方程代入橢圓可得，由韋達(dá)定理得：

則，

又與圓相切，可知原點(diǎn)O到的距離，整理得，

則，所以，故.

（ii）由知，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然，此時(shí)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：

代入橢圓方程可得，則，

故，

同理，

則.

綜上可知：為定值.