【題目】如圖,在半徑為 ,圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P,作扇形的內接矩形PNMQ,使點Q在OA上,點N,M在OB上,設矩形PNMQ的面積為y,∠POB=θ.
(1)將y表示成θ的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)求矩形PNMQ的面積取得最大值時 的值;
(3)求矩形PNMQ的面積y≥ 的概率.
【答案】
(1)解:在Rt△PON中,∠PNO=90°,∠POB=θ, ,
所以 , ,
在Rt△QMO中,∠QMO=90°,∠QON=60°,QM=PN=
所以OM=
所以:MN=ON﹣OM=
所以y=
即:y=3sinθcosθ﹣ sin2θ,( )
(2)解:由(1)得y=3sinθcosθ﹣ sin2θ= ﹣
= )﹣ =
∵θ∈(0, )
∴
∴sin( )∈
∴ ,即 時,y的最大值為 .
此時ON= cos = = ,則 =| || |cos = × = .
(3)解:若矩形PNMQ的面積y≥ ,
則 ≥ ,
即 sin( )≥ ,
則sin( )≥ ,
∵
∴ ≤ ≤ ,
即 ≤θ≤ ,
則對應的概率P= =
【解析】(1)利用三角函數(shù)的關系,求出矩形的鄰邊,求出面積的表達式,化為一個角的一個三角函數(shù)的形式,根據(jù)θ的范圍確定函數(shù)的定義域.(2)利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡,結合三角函數(shù)的最值性質求出矩形面積的最大值.以及利用向量數(shù)量積的定義進行求解即可.(3)根據(jù)幾何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面積y≥ 時,對應的角θ的取值范圍,即可得到結論.
【考點精析】本題主要考查了幾何概型的相關知識點,需要掌握幾何概型的特點:1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個;2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大;
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面積S.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角△ABC中,∠BCA=90°,CA=CB=1,P為AB邊上的點且 =λ ,若 ≥ ,則λ的取值范圍是( )
A.[ ,1]
B.[ ,1]
C.[ , ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若是兩個相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為 .(寫出所有真命題的序號)
①若直線,則在平面內,一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內,一定存在無數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內,不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內,一定存在與直線垂直的直線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線C1的參數(shù)方程為: (α為參數(shù)),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并取與直角坐標系相同的長度單位,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為:ρ=cosθ. (Ⅰ)求曲線C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點,求|PQ|的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖像如圖所示,則下列結論中一定成立的是( )
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)
C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)
D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R).
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當a>1時,討論函數(shù)f(x)的單調性;
(3)若對任意a∈(3,4)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有 m+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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