【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.
(1)求的值;
(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;
(3)證明:.
【答案】(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;(3)見解析.
【解析】
(1)切點既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點的導(dǎo)數(shù)再列一方程,解方程組即可;
(2)先對求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.
(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,然后證明極小值大于極大值即可.
解:(1)函數(shù)的定義域為
由已知得,則,解得.
(2)由題意得,則.
當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,
所以,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,
的極小值為,無極大值.
(3)要證成立,
只需證成立.
令,則,
當(dāng)時,單調(diào)遞增,
當(dāng)時,單調(diào)遞減,
所以的極大值為,即
由(2)知,時,,且的最小值點與的最大值點不同,所以,即.
所以,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為檢驗兩條生產(chǎn)線的優(yōu)品率,現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上各抽取件產(chǎn)品進行檢測評分,用莖葉圖的形式記錄,并規(guī)定高于分為優(yōu)品.前件的評分記錄如下,第件暫不公布.
(1)求所抽取的生產(chǎn)線上的個產(chǎn)品的總分小于生產(chǎn)線上的第個產(chǎn)品的總分的概率;
(2)已知生產(chǎn)線的第件產(chǎn)品的評分分別為.
①從生產(chǎn)線的件產(chǎn)品里面隨機抽取件,設(shè)非優(yōu)品的件數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②以所抽取的樣本優(yōu)品率來估計生產(chǎn)線的優(yōu)品率,從生產(chǎn)線上隨機抽取件產(chǎn)品,記優(yōu)品的件數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,分別為線段的中點,為四棱錐的外接球的球心,點分別是直線上的動點,記直線與所成角為,則當(dāng)最小時,( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科,它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖:記圖乙中第行黑圈的個數(shù)為,則(1)_______;(2)______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;
(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長.某地區(qū)2014年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均純收入 | 5 | 4 | 7 | 8 | 10 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2014年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入為多少?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》 是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作。其中一個問題的大意為:一年有二十四個節(jié)氣(如圖),每個節(jié)氣晷長損益相同(即物體在太陽的照射下影子長度的增加量和減少量相同).若冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺五寸(注:ー丈等于十尺,一尺等于十寸),則立冬節(jié)氣的晷長為( )
A. 九尺五寸 B. 一丈五寸 C. 一丈一尺五寸 D. 一丈六尺五寸
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