Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過C的左焦點(diǎn)F.

（1）求C與M的方程；

（2）直線l經(jīng)過C的上頂點(diǎn)且l與M交于P，Q兩點(diǎn)，直線FP，FQ與M分別交于點(diǎn)D（異于點(diǎn)P），E（異于點(diǎn)Q），證明:直線DE的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）C：，M：（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，的值，運(yùn)用，求得，可得橢圓的方程，由的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，求得，即可得解的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，設(shè)，，運(yùn)用韋達(dá)定理得之間的關(guān)系，再聯(lián)立直線與拋物線的方程解得的坐標(biāo)，同理可得出的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間斜率計(jì)算公式即可得結(jié)果.

（1）由題意，得，，所以，，

所以，所以C的方程為，

所以，由于M的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)F，

所以，所以，故M的方程為.

（2）證明:由題意知，l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為，

由，得.

設(shè)，，

則，即且，，.

又直線FP的方程為，

由，得，

所以，所以，從而D的坐標(biāo)為.

同理可得E的坐標(biāo)為，

所以為定值.