【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,,點,是橢圓的左右頂點,點是橢圓上一動點,的周長為6,且直線,的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若、為橢圓上位于軸同側(cè)的兩點,且,求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根據(jù)題意,得到,,再由,求出,,即可得出橢圓方程;
(2)由得,延長交橢圓于點,設,,直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,根據(jù)韋達定理,弦長公式,以及三角形面積公式,得到四邊形的面積,令,,得到,進而可得出結(jié)果.
(1)∵的周長為6,∴,即,①
設,因為點,是橢圓的左右頂點,則,,
因為直線,的斜率之積為,
所以,即,
又,所以,所以②
聯(lián)立①②及,解得,,.
∴橢圓的方程為;
(2)∵,∴,
延長交橢圓于點,設,,
由(1)知,,直線的方程為,
聯(lián)立,得.
∴,.
由對稱性可知,,設與的距離為,
則四邊形的面積
.
∴
.
令,.
∴.
易知:在上單調(diào)遞減,∴.
故四邊形面積的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos4x+sin2x,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. f(x)是偶函數(shù)
B. 函數(shù)f(x)最小值為
C. 是函數(shù)f(x)的一個周期
D. 函數(shù)f(x)在內(nèi)是減函數(shù)
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,(θ為參數(shù)),以原點為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)在平面直角坐標系xOy中,A(﹣2,0),B(0,﹣2),M是曲線C上任意一點,求△ABM面積的最小值.
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【題目】某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試,F(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表).
(2)根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù),可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布,經(jīng)計算第(1)問中樣本標準差的近似值為50。用樣本平均數(shù)作為的近似值,用樣本標準差作為的估計值,現(xiàn)任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.
參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進,若遙控車最終停在“勝利大本營”,則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動一次。若擲出正面,遙控車向前移動一格(從到)若擲出反面遙控車向前移動兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時,游戲結(jié)束。設遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列,并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值。
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【題目】已知函數(shù).
(1)當函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,若是函數(shù)的零點,且,求的值;
(3)當時,函數(shù)有兩個零點,且,求證:.
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設,由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】某媒體為調(diào)查喜愛娛樂節(jié)目是否與觀眾性別有關(guān),隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾,抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖:
(1)根據(jù)該等高條形圖,完成下列列聯(lián)表,并用獨立性檢驗的方法分析,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節(jié)目與觀眾性別有關(guān)?
(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目與否,用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調(diào)查.從這5名中任選2名,求恰有1名喜歡節(jié)目和1名不喜歡節(jié)目的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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【題目】如圖,與都是邊長為2的正三角形,平面平面,平面,.
(1)證明:直線平面
(2)求直線與平面所成的角的大;
(3)求平面與平面所成的二面角的正弦值.
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