Question

如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線G：x=a²上的射影依次為點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若為x軸上一點(diǎn)，求證：．

Answer 1

解：由題意，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，故有c=1
（1）拋物線的焦點(diǎn)為（0，）故橢圓C的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），可得b=，由橢圓的性質(zhì)得a=2
故橢圓C的方程為
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）E（a²，y₂）D（a²，y₁）
當(dāng)m變化時首先AE過定點(diǎn)N
即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）


∵=
∴k_AN=K_EN
∴A、N、E三點(diǎn)共線
∴故存在實(shí)數(shù)λ使得．
分析：（1）易知 ，c=1，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的方程
（2）要證當(dāng)m變化時，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)．先找m去特殊值（m=0）時AE與BD相交FK中點(diǎn) 故猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點(diǎn) 然后只要證明AN，EN 的斜率相等，從而可得A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線即可
點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，而定義的靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯(lián)立方程組，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，本題符號運(yùn)算，較繁，變形時要嚴(yán)謹(jǐn)．