Question

設f(x)=ax²+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.

Answer 1

5≤f(-2)≤10

解析:

方法一  設f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n為待定系數),

則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),

即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,

于是得,解得,

∴f(-2)=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,

故5≤f(-2)≤10.

方法二  由,

得,

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.

方法三  由確定的平面區(qū)域如圖.

當f(-2)=4a-2b過點A時,

取得最小值4×-2×=5,

當f(-2)=4a-2b過點B(3,1)時,

取得最大值4×3-2×1=10,

∴5≤f(-2)≤10.