【題目】如圖所示,已知多面體中,四邊形為菱形,為正四面體,且.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)通過(guò)證明平面平面來(lái)證明平面;
(2)如圖,以菱形的兩條對(duì)角線所在直線分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算二面角的余弦值.
(1)證明:因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形,
所以,
又平面,平面,所以平面,
同理可得平面,
因?yàn)?/span>平面,,
所以平面平面
因?yàn)?/span>平面,所以平面.
(2)以菱形的兩條對(duì)角線所在直線分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
設(shè),則,
因?yàn)?/span>為正四面體,所以點(diǎn)E坐標(biāo)為,
,
因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以平面與平面的法向量相同.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
,即
可取.
可取為平面的法向量.
所以,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了實(shí)施“科技下鄉(xiāng),精準(zhǔn)脫貧”戰(zhàn)略,某縣科技特派員帶著,,三個(gè)農(nóng)業(yè)扶貧項(xiàng)目進(jìn)駐某村,對(duì)該村僅有的甲、乙、丙、丁四個(gè)貧困戶進(jìn)行產(chǎn)業(yè)幫扶.經(jīng)過(guò)前期實(shí)際調(diào)研得知,這四個(gè)貧困戶選擇,,三個(gè)扶貧項(xiàng)目的意向如下表:
扶貧項(xiàng)目 | |||
貧困戶 | 甲、乙、丙、丁 | 甲、乙、丙 | 丙、丁 |
若每個(gè)貧困戶只能從自己已登記的選擇意向項(xiàng)目中隨機(jī)選取一項(xiàng),且每個(gè)項(xiàng)目至多有兩個(gè)貧困戶選擇,則不同的選法種數(shù)有( )
A.24種B.16種C.10種D.8種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將1,2,3,……,9這9個(gè)數(shù)全部填入如圖所示的3×3方格內(nèi),每個(gè)格內(nèi)填一個(gè)數(shù),則使得每行中的數(shù)從左至右遞增,每列中的數(shù)從上至下遞減的不同填法共有( )種
A.12B.24C.42D.48
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)是虛軸的一個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線左支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值等于____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為,左,右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為A,是面積為4的直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)作直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),若,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若,,且.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),(不與,重合).若直線與直線相交于點(diǎn),試判斷點(diǎn),,是否共線,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)中,分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若平面,,
,求平面與平面所成角(銳角)的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新型冠狀病毒肺炎COVID-19疫情發(fā)生以來(lái),在世界各地逐漸蔓延.在全國(guó)人民的共同努力和各級(jí)部門的嚴(yán)格管控下,我國(guó)的疫情已經(jīng)得到了很好的控制.然而,每個(gè)國(guó)家在疫情發(fā)生初期,由于認(rèn)識(shí)不足和措施不到位,感染確診人數(shù)都會(huì)出現(xiàn)加速增長(zhǎng).如表是小王同學(xué)記錄的某國(guó)從第一例新型冠狀病毒感染確診之日開始,連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù).
日期代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
累計(jì)確診人數(shù) | 4 | 8 | 16 | 31 | 51 | 71 | 97 | 122 |
為了分析該國(guó)累計(jì)感染確診人數(shù)的變化趨勢(shì),小王同學(xué)分別用兩種模型:
①,②對(duì)變量和的關(guān)系進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,殘差圖如下(注:殘差,且經(jīng)過(guò)計(jì)算得,,其中,,
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)該選擇哪個(gè)模型?并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)根據(jù)(1)中選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程;
(3)如果第9天該國(guó)仍未采取有效的防疫措施,試根據(jù)(2)中所求的回歸方程估計(jì)該國(guó)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù).(結(jié)果保留為整數(shù))
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
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