Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點。

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）已知點在橢圓C上，點A、B是橢圓C上不同于P、Q的兩個動點，且滿足： 。試問：直線AB的斜率是否為定值？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：對于（1），結(jié)合已知即可求出b2與a2，問題便可解答；

對于（2），當時，PA，PB的斜率之和為0.設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，接下來求出直線PA與PB的方程，然后將其與橢圓分別聯(lián)立，即可求出,然后利用斜率的計算公式不難求出k的值，問題便可解答.

試題解析：

（1）∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，∴設橢圓標準方程為（a＞b＞0），

∵橢圓離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

焦點為(0,2)，

∴b=2…（1分）e==，a2﹣b2=c2，

∴解得a2=16，b2=12

∴橢圓C的標準方程．

（2）直線 x=﹣2與橢圓交點P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，設A （x1，y1 ），B（ x2，y2），

當∠APQ=∠BPQ時直線PA，PB斜率之和為0．

設PA斜率為k，則PB斜率為﹣k．

當P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）時，

PA的直線方程為y﹣3=k（x+2）

與橢圓聯(lián)立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0

∴=;

同理

∴

, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=

直線AB斜率為