已知拋物線，點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，拋物線的焦點(diǎn)與中點(diǎn)的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設(shè)為小于零的常數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)

（1）；（2）參考解析

解析試題分析：（1）由題意可得通過假設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去y可得一個(gè)一元二次方程，通過韋達(dá)定理寫出根與系數(shù)的關(guān)系.由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.
（2）由直線方程與拋物線的方程聯(lián)立可得，關(guān)于點(diǎn)A,B的坐標(biāo)關(guān)系，從而得到的坐標(biāo)，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標(biāo)值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點(diǎn).
試題解析：（1）解：由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，
由   得.
設(shè)，，則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a1/b/1rs4u3.png" style="vertical-align:middle;" />與中點(diǎn)的連線垂直于軸，所以，即.
解得 ，.
所以，直線的方程為.
（2）證明：設(shè)直線的方程為.
由  得，
則，且，即，且.
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4d/b/1osqg4.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于軸對(duì)稱，所以，直線，
又 ，，所以，
所以 .
因?yàn)?，又同號(hào)，，
所以 ，
所以直線的方程為，
所以，直線恒過定點(diǎn).
考點(diǎn)：1.直線與拋物線的關(guān)系.2.對(duì)稱性的問題.3.解方程的能力.4.過定點(diǎn)的問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
 
(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若＝m＋n，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩上動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)． 過它的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于C、D兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求四邊形的面積的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)， 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).
（1）問：直線與能否垂直？若能，求之間滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.若，求之間滿足的關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,是橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)是橢圓上異于的一點(diǎn),直線交于點(diǎn),以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點(diǎn),求截直線所得的弦長；
②設(shè)與直線交于點(diǎn),試證明:直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）已知點(diǎn)和，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點(diǎn)的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點(diǎn)，則.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓的圓心為(),且經(jīng)過、,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)且在圓外,過作圓的切線,切點(diǎn)為,當(dāng)的最大值為時(shí),求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知離心率的橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程；
(2) 若斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn),且，求直線方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案