Question

（07年湖北卷）（14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．

（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；

（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

（此題不要求在答題卡上畫圖）

 

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．

解析：解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，

直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．

，

當(dāng)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，

設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得

，

又由點(diǎn)到直線的距離公式得．

從而，

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入得，

則．

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，

則有．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．