【題目】設(shè)為實數(shù),已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且.
(1)求的值;
(2)設(shè)為實數(shù),若對于任意,不等式恒成立,且存在唯一的實數(shù)使得成立,求的值;
(3)是否存在負(fù)數(shù),使得是曲線的切線.若存在,求出的所有值:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)求出,再由,即可求出值;
(2)由(1)的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè),即為,通過導(dǎo)數(shù)法求出,求出的取值范圍,再由唯一解,求出的值;
(3)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為,求出切線斜率,結(jié)合已知得,將切點坐標(biāo)代入,整理得到關(guān)于的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程正數(shù)解的情況,即為與直線在第一象限交點情況,通過求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,以及最值,即可求解.
(1)因為,
所以,
故.
(2)因為,
所以恒成立.
記,
則,
因為,且,
所以,
因此為時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
所以,即,
當(dāng)時,,
故方程無解,
當(dāng)時,當(dāng)時,由單調(diào)性知
所以存在唯一的使得,即.
(3)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為,則
,即,
,即
原命題等價于存在正數(shù)使得方程成立.
記,
則,
令,則,
因此當(dāng)時,,單調(diào)遞增,;
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,
則.
故存在唯一的正數(shù)使得方程成立,
即存在唯一的負(fù)數(shù),
使得是曲線的切線.
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【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件:①在上為減函數(shù),上是增函數(shù);②是偶函數(shù);③在處的切線與直線垂直.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),若對,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】下列說法正確的個數(shù)為( )
①“為真”是“為真”的充分不必要條件;
②若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,則的平均數(shù)為2;
③在區(qū)間上隨機取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為
④已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則.
A.4B.3C.2D.1
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【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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【題目】三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A. B. C. D.
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【題目】下列命題中正確的是( )
①已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則;
②相關(guān)系數(shù)r用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱,越大,相關(guān)性越弱;
③相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果,越小,說明模型的擬合效果越好;
④在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄,其模型擬合的精度就越高.
A.①②B.①④C.②③D.③④
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上存在一點,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若是直線上一點,是曲線上一點,求的最大值.
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