Question

（2013•上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)P_n在x軸上，其橫坐標(biāo)為x_n，且{x_n} 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記∠P_nAP_n+1=θ_n，n∈N^*．
（1）若θ3=arctan

1

3

，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8

2

），求θ_n的最大值及相應(yīng)n的值．

Answer 1

分析：（1）利用{x_n} 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，確定通項(xiàng)，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標(biāo)；
（2）表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)A（0，t）（t＞0），根據(jù)題意，x_n=2^n-1．
由θ3=arctan

1

3

，知tanθ3=

1

3

，
而tanθ₃=tan（∠OAP₄-∠OAP₃）=

x4 t - x3 t

1+ x4 t • x3 t

=

4t

t2+32

，
所以

4t

t2+32

=

1

3

，解得t=4或t=8．
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）或（0，8）．
（2）由題意，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（2^n-1，0），tan∠OAP_n=

2n-1

8 2

．
∴tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n）=

2n 8 2 - 2n-1 8 2

1+ 2n 8 2 • 2n-1 8 2

=

1

16 2 2n + 2n 8 2

．
因?yàn)?span id="qpqyx27" class="MathJye">

16 2

2n

+

2n

8 2

≥2

2

，所以tanθ_n≤

1

2 2

=

2

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

16 2

2n

=

2n

8 2

，即n=4時(shí)等號(hào)成立．
∵0＜θ_n＜

π

2

，y=tanx在（0，

π

2

）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)n=4時(shí)，θ_n最大，其最大值為arctan

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列，考查差角的正切函數(shù)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用差角的正切公式是關(guān)鍵．