【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)直線為曲線在處的切線,求實(shí)數(shù);
(Ⅱ)若,證明: .
【答案】(Ⅰ). (Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(1)由導(dǎo)函數(shù)與切線之間的關(guān)系可得;
(2)原不等式等價(jià)于即證: , 設(shè),結(jié)合構(gòu)造出的函數(shù)的性質(zhì)可得.
試題解析:
(Ⅰ)解法一:由已知得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)
又,得,
,所以.
(Ⅱ)即證: ,即證: ,
因?yàn)?/span>,即證: ,
設(shè), ,令
(i)當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增, , 單調(diào)遞增,
,滿足題意;
(ii)當(dāng)時(shí), ,解得,
當(dāng), , 單調(diào)遞減,
當(dāng), , 單調(diào)遞增,
此時(shí),
因?yàn)?/span>, ,即, 單調(diào)遞增, ,滿足題意;
綜上可得,當(dāng)時(shí), .
解法二: (Ⅰ)同解法一;
(Ⅱ)即證: ,即證: ,
因?yàn)?/span>,即證: ,
因?yàn)?/span>,即證,
令, , , 單調(diào)遞增, ,
單調(diào)遞增, .
所以,故原不等式得證.
點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù). (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題. (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD,其三視圖和直觀圖如圖所示,E為BC中點(diǎn). (Ⅰ)求此幾何體的體積;
(Ⅱ)求證:平面PAE⊥平面PDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,
,點(diǎn)在上,且.
(1)已知點(diǎn)在,且,求證:平面平面;
(2)若的面積是梯形面積為,求點(diǎn)E到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|1≤x≤5},B={x|log2x>1}
(1)分別求A∩B,(RB)∪A;
(2)已知集合C={x|2a﹣1≤x≤a+1},若CA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,且橢圓與圓: 的公共弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn), ,試判斷在軸上是否存在點(diǎn),使得為以為底邊的等腰三角形.若存在,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】銷售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別是y1 , y2萬(wàn)元,它們與投入資金x萬(wàn)元的關(guān)系分別為y1=m +a,y2=bx,(其中m,a,b都為常數(shù)),函數(shù)y1 , y2對(duì)應(yīng)的曲線C1 , C2如圖所示.
(1)求函數(shù)y1與y2的解析式;
(2)若該商場(chǎng)一共投資10萬(wàn)元經(jīng)銷甲、乙兩種商品,求該商場(chǎng)所獲利潤(rùn)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)A(2,3)、B(4,1),直線l:x+2y﹣2=0,在直線l上求一點(diǎn)P.
(1)使|PA|+|PB|最小;
(2)使|PA|﹣|PB|最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績(jī)實(shí)行“”的構(gòu)成模式,第一個(gè)“3”是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),每門滿分150分,第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試,每門滿分100分,高考錄取成績(jī)卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況,將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體,從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,他們選考物理,化學(xué),生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:
(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作,求事件“”的概率.
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