Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和為4.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；

（2）若，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的軌跡相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）或

【解析】

（1）先求的坐標(biāo)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.

（2）直線(xiàn)的斜率必存在，可先聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓的方程，消元后利用韋達(dá)定理可求的長(zhǎng)，再求出到直線(xiàn)的距離后可得面積表達(dá)式，最后利用基本不等式可得面積何時(shí)最大并能求出此時(shí)直線(xiàn)的方程.

（1）①當(dāng)時(shí)，的軌跡不存在.

②當(dāng)時(shí)，的軌跡為一線(xiàn)段，方程為；

③當(dāng)時(shí)，的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，方程為.

（2）若，則的軌跡方程為 .

當(dāng)軸時(shí)不合題意， 故設(shè)，，.

將代入得.

由得，，

解得或.

由韋達(dá)定理得， ，

.

又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

，其中或.

令，則且，

當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)等號(hào)成立,

所以，當(dāng)的面積最大時(shí)，的方程為或.

方法二：若，則的軌跡方程為.

當(dāng)軸時(shí)不合題意， 故設(shè)，，，且.

將代入得.

由得，，

解得或.

由韋達(dá)定理得，，

，，

令，則且，

當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)等號(hào)成立,

所以，當(dāng)的面積最大時(shí)，的方程為或.