Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，a為常數(shù)且a＞0．
（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 但f（x0）≠x0 ， 則x0稱為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)，如果f（x）有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1 ， x2 ， 試確定a的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的x1 ， x2 ， 和a，設(shè)x3為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，A（x1 ， f（f（x1））），B（x2 ， f（f（x2））），C（x3 ， 0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ = =a（1﹣2|x|）， =a（1﹣2|x|），

∴ ，∴f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱

（2）解：當(dāng) 時(shí)，有f（f（x））= ．

∴f（f（x））=x只有一個(gè)解x=0又f（0）=0，故0不是二階周期點(diǎn)．

當(dāng) 時(shí)，有f（f（x））= ．

∴f（f（x））=x有解集，{x|x }，故此集合中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn)．

當(dāng) 時(shí)，有f（f（x））= ，

∴f（f（x））=x有四個(gè)解：0， ， ， ．

由f（0）=0， ， ， ．

故只有 ， 是f（x）的二階周期點(diǎn)，綜上所述，所求a的取值范圍為

（3）解：由（2）得 ， ．

∵x2為函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)，∴ ，或 ．

當(dāng) 時(shí)，S（a）= | ﹣ |= ．

求導(dǎo)得：S′（a）= ．

∴當(dāng) 時(shí)，S（a）單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，S（a）單調(diào)遞減．

當(dāng) 時(shí)，S（a）= ，求導(dǎo)得 ．

∵ ，從而有 ．

∴當(dāng) 時(shí)，S（a）單調(diào)遞增

【解析】（1）只要證明 成立即可；（2）對(duì)a分類討論，利用二階周期點(diǎn)的定義即可得出；（3）由（2）得出x3 ， 得出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)性．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．