Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的實數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2，
（1）求f（0）；f（2）；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

解：（1）由題設，令x=y=0，
恒等式可變?yōu)閒（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
又f（1）=2，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4，
（2）令y=-x，則 由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由題設x＞0時，f（x）＞0，可得f（x₂-x₁）＞0
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是增函數(shù)．
分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）由奇函數(shù)的定義知，需要證明出f（-x）=-f（x），觀察恒等式發(fā)現(xiàn)若令y=-x，則問題迎刃而解；
（3）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可．
點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應用，考查用賦值法求函數(shù)值證明函數(shù)的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．