Question

已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求滿(mǎn)足不等式≥的最大n值．

 

Answer 1

【答案】

（I）an=a1=()n；（Ⅱ）n的最大值為4．

【解析】

試題分析：（I）{an}是一等比數(shù)列，且a1=.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差數(shù)列，可得一個(gè)含公比q的方程，解這個(gè)方程便得公比q，從而得數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）由題設(shè)及（I）可得：bn=anlog2an=-n?()n，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積或商構(gòu)成的新數(shù)列，求和時(shí)用錯(cuò)位相消法.用錯(cuò)位相消法可求得，變形得≥，解這個(gè)不等式得n≤4，從而得 n的最大值．

試題解析：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題知 a1=，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差數(shù)列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

變形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=， 4分

又由{an}為遞減數(shù)列，于是q=，

∴ an=a1=()n． 6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?()n，

∴ ，

于是，

兩式相減得：

∴ ．

∴ ≥，解得n≤4，

∴ n的最大值為4． 12分

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；3. 錯(cuò)位相消法求和；4.解不等式.