橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標原點，求證:.

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當直線軸垂直時；②是當直線不與軸垂直時，都證明，可得結論．
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，又，∴，即為邊上的中線，∴,        2分
在中，則，∴橢圓的離心率．       4分
（注：若學生只寫橢圓的離心率，沒有過程扣3分）
（Ⅱ）設，因為，，所以    6分
①當直線軸垂直時，，，,
=，因為，所以，恒為鈍角，
.         8分
②當直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒為鈍角.，所以恒有．      12分
考點：1、橢圓的定義及性質；2、直線與橢圓相交的綜合應用；3、向量的數(shù)量積的坐標運算.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點，兩個焦點為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是橢圓C上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡的方程；
（3）設直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記點的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線與曲線交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經過點．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點（點與點不重合），
①求的值；
②當為等腰直角三角形時，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知△的兩個頂點的坐標分別是，且所在直線的斜率之積等于．
（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（Ⅱ）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱
點為(不重合) 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，設動點到定點的距離與到定直線的距離相等，記的軌跡為．又直線的一個方向向量且過點，與交于兩點，求的長．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案