【題目】已知， 為拋物線上的兩個動點(diǎn)，其中，且

（1）求證：線段的垂直平分線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求面積的最大值．

【答案】（1）恒過定點(diǎn)；（2）面積的最大值.

【解析】試題分析：（1）由拋物線的對稱性可知定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，由，可得，所以恒過定點(diǎn)；（2）直線方程： ，代入

得，根據(jù)根據(jù)韋達(dá)定理，弦長公式將面積用表示，換元后，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）由拋物線的對稱性可知定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，

設(shè)中點(diǎn)為

則，

由，可得，所以恒過定點(diǎn)；

（2）直線方程： ，代入

得

由韋達(dá)定理知

點(diǎn)到直線的距離：

令，因?yàn)?/span>，所以

則，

可知， ， ， 為增函數(shù)；

， ， 為減函數(shù)．

所以： ，

所以面積的最大值．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系以及曲線過定點(diǎn)問題，屬于難題.解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點(diǎn)時，可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).② 從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}，則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為

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【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知線段AB長度為a（a為定值），在其上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是這兩個正方形的外接圓，它們交于點(diǎn)M、N．試以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．

（1）證明：不論點(diǎn)M如何選取，直線MN都通過一定點(diǎn)S；
（2）當(dāng) 時，過A作⊙Q的割線，交⊙Q于G、H兩點(diǎn)，在線段GH上取一點(diǎn)K，使 = 求點(diǎn)K的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè){an}為單調(diào)遞增數(shù)列，首項a1=4，且滿足an+12+an2+16=8（an+1+an）+2an+1an ， n∈N* ， 則a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=（ ）
A.﹣2n（2n﹣1）
B.﹣3n（n+3）
C.﹣4n（2n+1）
D.﹣6n（n+1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知各項均大于1的數(shù)列{an}滿足：a1= ，an+1= （an+ ），（n∈N*），bn=log5 ．
（1）證明{bn}為等比數(shù)列，并求{bn}通項公式；
（2）若cn= ，Tn為{cn}的前n項和，求證：Tn＜6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=K，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．
②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線 與橢圓 +y2=1有相同的焦點(diǎn)．
④已知拋物線y2=2px，以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切
其中真命題為（寫出所以真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的面積為.

（1）求；

（2）設(shè)點(diǎn)為直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的斜率分別為的兩條弦，如果，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

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