Question

設(shè)F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)． (1) 若橢圓C上的點(diǎn)A(1，)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo) (2) 設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程 (3) 已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kpM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線－＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又點(diǎn)A(1，)在橢圓上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝1． 　　所以橢圓C的方程為＋＝1，焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．
(2)	設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1，y1)，線段F1K的中點(diǎn)Q(x，y)滿足x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　因此＋＝1，即(x＋)2＋＝1為所求的軌跡方程．
(3)	類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值． 　　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，n)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－m，－n)，其中－＝1． 　　又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本知識(shí)及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法．第(3)問對(duì)考生的聯(lián)想、類比、邏輯思維及運(yùn)算能力都有較高的要求，根據(jù)提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數(shù)學(xué)命題的方向．應(yīng)引起注意．