Question

設F₁，F(xiàn)₂分別為橢C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓C上的點A(1，

3

2

)到兩點的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點Q(0.

1

2

)求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求得a=2，b²=3，從而可求得橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）利用橢圓的參數(shù)方程，利用配方法與正弦函數(shù)的性質即可求得|PQ|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C上的點A（1，

3

2

）到橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴

12

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，
∴b²=3，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，其焦點坐標為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
（Ⅱ）設P（2cosθ，

3

sinθ），
∵Q（0，

1

2

），
∴|PQ|²=4cos²θ+(

3

sinθ-

1

2

)2
=4-4sin²θ+3sin²θ-

3

sinθ+

1

4

=-sin²θ-

3

sinθ+

17

4

=-(sinθ+

3

2

)2+5≤5．
∴|PQ|的最大值為

5

．

點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查橢圓的參數(shù)方程及兩點間的距離，考查配方法與最值問題，屬于難題．