【題目】橢圓C焦點(diǎn)在y軸上，離心率為 ，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離為2﹣ ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l與橢圓C交與P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OPQ的面積S△OPQ=1，則| |2+| |2是否為定值，若是求出定值；若不是，說明理由．

【答案】
（1）解：由題意可得 ，

解得 ，

可得b2=a2﹣c2=1，

即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；


（2）解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）

①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

S△OPQ=|x1||y1|=1，

又 ，解得 ，

| |2+| |2=2（x12+y12）=2×（ +2）=5；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，

由題意知m≠0，將其代入 ，得

（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0，

即有 ，

則 ，O到PQ距離 ，

則 ，

解得k2+4=2m2，滿足△＞0，

則 ，

即有| |2+| |2=（x12+y12）（x22+y22）

=

= =﹣3+8=5，

綜上可得| |2+| |2為定值5．


【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，及a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合三角形的面積公式，點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和為定值5．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.

（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】廣東某市一玩具廠生產(chǎn)一種玩具深受大家喜歡，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查該商品每月的銷售量（單位：千件）與銷售價(jià)格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中， 為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/件時(shí)，每日可售出玩具21千件．

（1）求的值；

（2）假設(shè)該廠生產(chǎn)這種玩具的成本、員工工資等所有開銷折合為每件2元（只考慮銷售出的件數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使該廠每日銷售這種玩具所獲得的利潤(rùn)最大．（保留1位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， ， ， ． 為與的交點(diǎn)， 為棱上一點(diǎn),

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若三棱錐的體積為，

求證： ∥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求直線的普通方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)， 的長(zhǎng)軸是圓的直徑. 是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積取最大值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分14分）如圖,在四棱錐中， 平面，底面是菱形， ， 為與的交點(diǎn)， 為上任意一點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）若平面，并且二面角的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1 ， 下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2：1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），總有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

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