【題目】π為圓周率,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間;
(2)求e3 , 3e , eπ , πe , 3π , π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù);
(3)將e3 , 3e , eπ , πe , 3π , π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

∵f(x)= ,∴f′(x)= ,

當(dāng)f′(x)>0,即0<x<e時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)f′(x)<0,即x>e時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞).


(2)解:∵e<3<π,

∴eln3<elnπ,πl(wèi)ne<πl(wèi)n3,即ln3e<lnπe,lneπ<ln3π

于是根據(jù)函數(shù)y=lnx,y=ex,y=πx在定義域上單調(diào)遞增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π

故這六個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中,最小數(shù)在3e與e3之中.

由e<3<π及(1)的結(jié)論,得f(π)<f(3)<f(e),即

,得lnπ3<ln3π,∴3π>π3;

,得ln3e<lne3,∴3e<e3

綜上,6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3π,最小數(shù)是3e


(3)證明:由(2)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,

又由(2)知, ,得πe<eπ

故只需比較e3與πe和eπ與π3的大。

由(1)知,當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)<f(e)= ,即

在上式中,令x= ,又 ,則ln

從而2﹣lnπ ,即得lnπ .①

由①得,elnπ>e(2﹣ )>2.7×(2﹣ )>2.7×(2﹣0.88)=3.024>3,即elnπ>3,亦即lnπe>lne3

∴e3<πe

又由①得,3lnπ>6﹣ >6﹣e>π,即3lnπ>π,

∴eπ<π3

綜上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6個(gè)數(shù)從小到大順序?yàn)?e,e3,πe,eπ,π3,3π


【解析】(1)先求函數(shù)定義域,然后在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可得到單調(diào)增、減區(qū)間;(2)由e<3<π,得eln3<elnπ,πl(wèi)ne<πl(wèi)n3,即ln3e<lnπe , lneπ<ln3π . 再根據(jù)函數(shù)y=lnx,y=ex , y=πx在定義域上單調(diào)遞增,可得3e<πe<π3 , e3<eπ<3π , 從而六個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中,最小數(shù)在3e與e3之中.由e<3<π及(1)的結(jié)論,得f(π)<f(3)<f(e),即 ,由此進(jìn)而得到結(jié)論;(3)由(2)可知,3e<πe<π3<3π , 3e<e3 , 又由(2)知, ,得πe<eπ , 故只需比較e3與πe和eπ與π3的大。桑1)可得0<x<e時(shí), ,令x= ,有l(wèi)n ,從而2﹣lnπ ,即得lnπ .①,由①還可得lnπe>lne3 , 3lnπ>π,由此易得結(jié)論;
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2a5a3=13,S4=16.

(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

(2)設(shè)Tn(-1)iai,若對(duì)一切正整數(shù)n,不等式 λTn<[an1+(-1)n1an]·2n1 恒成立,求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍;

(3)是否存在正整數(shù)mn(nm2),使得S2SmS2,SnSm成等比數(shù)列?若存在,求出所有的mn;若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求的直角坐標(biāo)方程;

(2)直線為參數(shù))與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于,求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表:

對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間 ,,進(jìn)行分組,得到頻率分布條形圖如圖.

(1)求圖中的值;

(2)空氣質(zhì)量狀況分別為輕微污染或輕度污染定為空氣質(zhì)量Ⅲ級(jí),求一年中空氣質(zhì)量為Ⅲ級(jí)的天數(shù)

(3)小張到該城市出差一天,這天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱中,,,,分別是的中點(diǎn).

1)證明:平面;

2)證明:;

3)若,求證:平面平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。

I)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。

II)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,

1)列出所有可能的抽取結(jié)果;

2)求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5 , 則lna1+lna2+…lna20=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.
(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案