Question

【題目】設(shè)F1、F2分別為橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)M（1， ）到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于4．又已知點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線l交橢圓Γ于E、F兩點(diǎn)（E、F與A點(diǎn)不重合），且滿足AE⊥AF． （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足2 ，求直線AP的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，可得2a=4，即a=2，又點(diǎn) 在橢圓上， 將點(diǎn)M（1， ）代入橢圓方程可知 ，
解得：b2=3，
∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知A（2，0），設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），
，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由韋達(dá)定理可知：2+xE= ，可得xE= ，
yE=k（xE﹣2）= ，
由于AE⊥AF，只要將上式的k換為﹣ ，
可得xF= ，yF= ，
由2 ，可得P為EF的中點(diǎn)，
即有P（ ， ），
則直線AP的斜率為t= = ，
當(dāng)k=0時(shí)，t=0；
當(dāng)k≠0時(shí)，t= ，
再令s= ，可得t= ，
當(dāng)s=0時(shí)，t=0；當(dāng)s＞0時(shí)，t= ≤ = ，
當(dāng)且僅當(dāng)4s= 時(shí)，取得最大值；
當(dāng)s＜0時(shí)，t= ≥﹣ ，
綜上可得：直線AP的斜率的取值范圍是[﹣ ， ]
【解析】（Ⅰ）由題意可得a=2，c=1，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得E的坐標(biāo)，由兩直線垂直可得F的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式即可得到斜率的最值，進(jìn)而得到所求范圍．