Question

如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.

(1)求證：C1E∥平面ADF；

(2)設點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF?

 

Answer 1

（1）見解析（2）當BM＝1時

【解析】(1)證明：連結(jié)CE交AD于O，連結(jié)OF.

因為CE，AD為△ABC中線，所以O為△ABC的重心，.

從而OF//C1E.OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E∥平面ADF.

(2)【解析】
當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中點，所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM平面B1BCC1，于是AD⊥CM.因為BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.DF與AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF.