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已知f（x）=x|x|+px+q，下列命題中正確的是
①②③
①②③
．
①f（x）為奇函數的充要條件是q=0；
②f（x）圖象關于（0，q）對稱；
③當p=0時，方程f（x）=0的解集一定非空；
④方程f（x）=0的解的個數為小于或等于2．
分析：判斷為真時，必須給以證明，判斷為假，列舉反例：①當f（x）為奇函數是f（0）=0，從而q=0；當q=0時，f（-x）═-f（x）；②根據f（-x）+f（x）=-x|-x|-px+q+x|x|+px+q=2q，可知f（x）圖象關于（0，q）對稱；③當p=0時，方程f（x）=0 為x|x|+q=0，無論q取何值，此方程一定有解；④p=-2，q=1，f（x）=
x2-2x+1，x≥0
-x2-2x+1，x＜0
，故可判斷
解答：解：①當f（x）為奇函數是f（0）=0，∴q=0；當q=0時，f（-x）=-x|-x|-px=-（x|x|+px）=-f（x），∴①正確．
 ②∵f（-x）+f（x）=-x|-x|-px+q+x|x|+px+q=2q，∴f（x）圖象關于（0，q）對稱，∴②正確；
③當p=0時，方程f（x）=0 為x|x|+q=0，無論q取何值，此方程一定有解，故③正確；
④p=-2，q=1，f（x）=
x2-2x+1，x≥0
-x2-2x+1，x＜0
，方程f（x）=0的解的個數為3個，∴④不正確
故答案為①②③
點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，綜合性強，需細細分析
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，設g（x）是函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間[
1
2
，a]上的值域為[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數m的范圍；
（3）當2≤a＜9時，設f（x）=f2（x）所對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當a=1，b=0時，判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a=1，b=1時，若f(2x)=
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，求x的值；
（3）若b＜0，且對任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若f（1）≤1，求a的取值范圍；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若當x∈[0，1]時，恒有f（x）＜0，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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