Question

已知甲口袋中有8個(gè)大小相同的小球，其中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球；乙口袋中有4個(gè)大小相同的小球，其中有2個(gè)白球，2 個(gè)黑球，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩個(gè)口袋中共摸出3個(gè)小球．
（I ）求從甲、乙兩個(gè)口袋中分別抽取小球的個(gè)數(shù)；
（II）求從甲口袋中抽取的小球中恰有一個(gè)白球的概率；
（III）記ξ表示抽取的3個(gè)小球中黑球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意從甲、乙兩個(gè)口袋中抽取的小球個(gè)數(shù)之比為8：4，得到從甲和乙兩個(gè)口袋中分別抽取的小球是2，1
（II）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是C₈²C₄¹，滿足條件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹，得到概率．
（III）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率寫出變量的概率，寫出分辨率和期望值．

解答：解：（I）由題意從甲、乙兩個(gè)口袋中抽取的小球個(gè)數(shù)之比為8：4=2：1
∴從甲和乙兩個(gè)口袋中分別抽取的小球是2，1
（II）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是C₈²C₄¹，
滿足條件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹=60，
∴要求的概率是P=

60

C 2 8 C 1 4

=

15

28

（III）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=

5

28

，P（ξ=1）=

25

56

，P（ξ=3）=

3

56

，P（ξ=2）=

18

56

∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	5 28	25 56	18 56	3 56

∴ξ的期望是Eξ=1×

25

56

+2×

18

56

+3×

3

56

=

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是利用等可能事件的概率公式，做出幾個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率．