Question

若直線ax+by=1與圓x²+y²=1相切于第一象限，則實(shí)數(shù)

1

a

+

1

b

的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：由題意可得a＞0，b＞0 且即

|0+0-1|

a2+b2

=1．故有 a²+b²=1≥2ab，從而得到

1

ab

的最小值為2．再利用基本不等式求出實(shí)數(shù)

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：若直線ax+by=1與圓x²+y²=1相切于第一象限，則 a＞0，b＞0 且圓心到直線的距離等于半徑，即

|0+0-1|

a2+b2

=1．
故有 a²+b²=1≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，即 ab最大值為

1

2

，

1

ab

的最小值為2．
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．
綜上可得，實(shí)數(shù)

1

a

+

1

b

的最小值是2

2

，
故答案為 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．