在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,成等比數(shù)列(

(Ⅱ)若對(duì)任意,,成等比數(shù)列,其公比為。

 

 

【答案】

 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。

(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得。

所以

=

=2k(k+1)

=0,得

于是。

所以成等比數(shù)列。

(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得

當(dāng)≠1時(shí),可知≠1,k

從而

所以是等差數(shù)列,公差為1。

(Ⅱ)證明:,,可得,從而=1.由(Ⅰ)有

所以

因此,

以下分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m()

若m=1,則.

若m≥2,則

+

所以

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2m+1(

所以從而···

綜合(1)(2)可知,對(duì)任意,,有

證法二:(i)證明:由題設(shè),可得

所以

可知。可得,

所以是等差數(shù)列,公差為1。

(ii)證明:因?yàn)?sub>所以。

所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ,故。

從而。

所以,由,可得

于是,由(i)可知

以下同證法一。

 

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(本小題滿分14分)

在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(

(Ⅱ)若對(duì)任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。

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(12分)在數(shù)列中,,且對(duì)任意都有成立,令(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

 

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在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,成等差數(shù)列,其公差為。

(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(

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(12分)在數(shù)列中,,且對(duì)任意都有成立,令(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

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