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(本小題滿分14分)

在數列中,,且對任意.,成等差數列,其公差為

(Ⅰ)若=,證明,成等比數列(

(Ⅱ)若對任意,成等比數列,其公比為

【解析】本小題主要考查等差數列的定義及通項公式,前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。

(Ⅰ)證明:由題設,可得

所以

=

=2k(k+1)

=0,得

于是

所以成等比數列。

(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數列,及成等比數列,得

≠1時,可知≠1,k

從而

所以是等差數列,公差為1。

(Ⅱ)證明:,可得,從而=1.由(Ⅰ)有

所以

因此,

以下分兩種情況進行討論:

當n為偶數時,設n=2m()

若m=1,則.

若m≥2,則

+

所以

(2)當n為奇數時,設n=2m+1(

所以從而···

綜合(1)(2)可知,對任意,,有

證法二:(i)證明:由題設,可得

所以

可知?傻,

所以是等差數列,公差為1。

(ii)證明:因為所以。

所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數列。由等差數列的通項公式可得= ,故

從而。

所以,由,可得

。

于是,由(i)可知

以下同證法一。

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3
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π
4
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π
4
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