Question

【題目】某景點擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），按設(shè)計要求扇環(huán)的周長為36米，其中大圓弧所在圓的半徑為14米，設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ（弧度）．

（1）求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知對花壇的邊緣（實線部分）進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為16元/米，設(shè)花壇的面積與裝飾總費用之比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，

所以

（2）解：花壇的面積為 ，

裝飾總費用為4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），

所以花壇的面積與裝飾總費用之比為 ，

令t=x+10，t∈（10，24），

則 ，

當(dāng)且僅當(dāng)t=12取等號，此時x=2， ，

故花壇的面積與裝飾總費用之比為 ，

且y的最大值為

【解析】（1）根據(jù)扇形的周長公式即可得出θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，（2）表示出花壇的面積，得出花壇的面積與裝飾總費用之比的表達(dá)式，令t=x+10，進(jìn)行換元，利用基本不等式可求得最大值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的基本不等式在最值問題中的應(yīng)用和扇形面積公式，需要了解用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，才能得出正確答案．