已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，且過點(diǎn)（
3
，
1
2
）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為對(duì)角線的菱形的一頂點(diǎn)為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．
（Ⅰ）∵e=
3
2
，∴c=
3
2
a，∴b2=a2-c2=
a2
4
，故所求橢圓為：
x2
a2
+
4y2
a2
=1．
又橢圓過點(diǎn) （
3
，
1
2
），∴
3
a2
+
1
a2
=1，∴a2=4，b2=1，
∴
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為（x0，y0）
將直線y=kx+m與
x2
4
+y2=1 聯(lián)立得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵△=16（4k2+1-m2）＞0，即 4k2+1-m2＞0 ①，
又x0=
x1+x2
2
=
-4km
1+4k2
，y0=
y1+y2
2
=
m
1+4k2
，又點(diǎn)[-1，0]不在橢圓OE上．
依題意有
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
，整理得3km=4k2+1 ②． 由①②可得k2＞
1
5
，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞
5
5
，
設(shè)O到直線l的距離為d，
則S△OPQ=
1
2
•d•|PQ|=
1
2
•
m
1+k2
•
1+k2
•
16(4k2+1-m2)
1+4k2
=
2
(4k2+1)(5k2-1)
9k2
=
2
20+
1
k2
-
1
k4
9
．
當(dāng)
1
k2
=
1
2
時(shí)，△OPQ 的面積取最大值1，此時(shí)k=
2
，m=
3
2
2
，
∴直線方程為 y=
2
x+
3
2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知B（-1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，過C作斜率為k的直線l交橢圓于D，E兩點(diǎn)，若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)B（0，1），A，C為橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的兩點(diǎn)，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
（1）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個(gè)？
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（2
2
，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)T變化時(shí)，求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）．
（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，-b），B（a，0）滿足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn)，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　�。�
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

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