Question

已知函數f（x）=x³+x²+ax+b,g（x）=x³+x²+ 1nx+b，（a，b為常數）．
（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數），求b的值；
（2）設函數f（x）的導函數為f’（x），若存在唯一的實數x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，求實數b的取值范圍；
（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函數F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）根據導數的幾何意義，先求 ,利用,然后將代入，求出`,此點也在函數f(x)上，代入，即可求出;
（2）根據,消去,得到關于的三次方程，，此方程有唯一解，令，求出,利用導數求出極值點，以及兩側的單調性，從而分析圖像，得到的取值范圍；
（3），因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根．得到根與系數的關系，代入極值,得到的取值范圍.
試題解析：（1）∵ 所以直線的，當時，，將（1，6）代入，得．       4分
（2） ，由題意知消去，
得有唯一解．
令，則，       6分
所以在區(qū)間上是增函數，在上是減函數，
又，故實數的取值范圍是．   9分
（3）
因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根．        10分
記方程的兩根為由韋達定理，所以方程的根必為兩不等正根．         12分

 所以滿足方程判別式大于零
故所求取值范圍為            14分