Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)g（x）＝lnx，若對(duì)任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減在區(qū)間是（，+∞）.（2）a．

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)得，然后分a≤0和a＞0兩種情況分類求解.

（2）根據(jù)對(duì)任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等價(jià)于f（x）max＜g（x）max，然后分別求最大值求解即可.

（1），

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時(shí)，在區(qū)間（0，）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

在區(qū)間（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減在區(qū)間是（，+∞）.

（2），

在區(qū)間（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，

在區(qū)間（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

所以g（x）max＝g（3）＝ln3，

因?yàn)閷?duì)任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，

等價(jià)于f（x）max＜g（x）max，

由（1）知當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無(wú)最值，

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）max＝f（）＝﹣lna，

所以﹣lna＜ln3，

所以，

解得a．