【答案】
分析:(1)由題意得到基本事件總數(shù)為12,并且分別求出:當方程x
2+ax+b=0沒有解時,方程x
2+ax+b=0有一解時,方程x
2+ax+b=0有兩解時,包含的基本事件數(shù)以及其發(fā)生的概率,進而得到分布列求出期望.
(2)由題意可得:試驗的全部結果構成區(qū)域是一個矩形區(qū)域,其面積S
Ω=2×2=4,并且寫出所求事件構成的區(qū)域以及其面積S
M=
,進而求出答案.
解答:解:(1)a取集合{0,1,2}中任一元素,b取集合{0,1,2,3}中任一元素,
∴a、b的取值情況有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),
其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值,基本事件總數(shù)為12.
當方程x
2+ax+b=0沒有解時,即△=a
2-4b<0,此時a、b的取值情況有(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),包含的基本事件數(shù)為8.
當方程x
2+ax+b=0有一解時,即△=a
2-4b=0,此時a、b的取值情況有(0,0),(2,1),包含的基本事件數(shù)為2.
當方程x
2+ax+b=0有兩解時,即△=a
2-4b>0,此時a、b的取值情況有(1,0),(2,0),包含的基本事件數(shù)為2.
由題意知用隨機變量ξ表示方程x
2+ax+b=0實根的個數(shù),所以得到ξ=0,1,2
所以
=
,
=
,
=
,
∴ξ的分布列為:
∴ξ的數(shù)學期望為
.
(2)∵a從區(qū)間[0,2]中任取一個數(shù),b從區(qū)間[0,2]中任取一個數(shù)
則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2}這是一個矩形區(qū)域,其面積S
Ω=2×2=4,
設“方程x
2+ax+b=0有實根”為事件A,
則事件A構成的區(qū)域為M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤2,a
2-4b≥0},由積分公式可得其面積S
M=
.
由幾何概型的概率計算公式可得:方程有實根的概率P(A)=
.
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和期望,以及幾何概率模型.