Question

已知方程x²+ax+b=0，a，b為常數(shù)．
（Ⅰ）若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求方程的解的個(gè)數(shù)ξ的期望；
（Ⅱ）若a，b在[0，2]內(nèi)等可能取值，求此方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得到基本事件總數(shù)為12，并且分別求出：當(dāng)方程x²+ax+b=0沒有解時(shí)，方程x²+ax+b=0有一解時(shí)，方程x²+ax+b=0有兩解時(shí)，包含的基本事件數(shù)以及其發(fā)生的概率，進(jìn)而得到分布列求出期望．
（2）由題意可得：試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×2=4，并且寫出所求事件構(gòu)成的區(qū)域以及其面積S_M=

2

3

，進(jìn)而求出答案．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，
∴a、b的取值情況有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，基本事件總數(shù)為12．
當(dāng)方程x²+ax+b=0沒有解時(shí)，即△=a²-4b＜0，此時(shí)a、b的取值情況有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件數(shù)為8．
當(dāng)方程x²+ax+b=0有一解時(shí)，即△=a²-4b=0，此時(shí)a、b的取值情況有（0，0），（2，1），包含的基本事件數(shù)為2．
當(dāng)方程x²+ax+b=0有兩解時(shí)，即△=a²-4b＞0，此時(shí)a、b的取值情況有（1，0），（2，0），包含的基本事件數(shù)為2．
由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程x²+ax+b=0實(shí)根的個(gè)數(shù)，所以得到ξ=0，1，2
所以P(ξ=0)=

8

12

=

2

3

，P(ξ=1)=

2

12

=

1

6

，P(ξ=2)=

2

12

=

1

6

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
p	2 3	1 6	1 6

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

2

3

+1×

1

6

+2×

1

6

=

1

2

．
（2）∵a從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)
則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×2=4，
設(shè)“方程x²+ax+b=0有實(shí)根”為事件A，
則事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a²-4b≥0}，由積分公式可得其面積S_M=

2

3

．
由幾何概型的概率計(jì)算公式可得：方程有實(shí)根的概率P（A）=

2 3

4

=

1

6

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，以及幾何概率模型．