Question

如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證法一是取的中點，構(gòu)造四邊形，并證明四邊形為平行四邊形，得到，從而證明平面；證法二是取的中點，構(gòu)造平面，通過證明平面平面，并利用平面與平面平行的性質(zhì)來證明平面；（Ⅱ）直接利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：解法一：（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，

則，且，     2分

又，∴且，所以四邊形是平行四邊形，

則，                     5分

又因為平面，平面，所以平面．            6分

（Ⅱ）依題得，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則，，，，，，

所以，．

設(shè)平面的一個法向量為，則即，

取，得，．        10分

又設(shè)與平面所成的角為，，

則，

故與平面所成角的正弦值為．             13分

解法二：（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，

則，

又因為平面，平面，平面，平面，

所以平面，平面，

又，所以平面平面，

平面，∴平面．     6分

（Ⅱ）同解法一．                  13分

考點：直線與平面平行、直線與平面所成的角