Question

某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(百臺），其總成本為g(x)萬元（總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本），并且銷售收人r(x)滿足
假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求：
（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？

Answer 1

(1)大于300臺小于1050臺； (2) 600臺

解析試題分析：(1) 由于銷售收入是一個關(guān)于產(chǎn)品數(shù)量x的一個分段函數(shù)，另外計算工廠的盈利需要將銷售收入r(x)減去總的成本g(x)萬元，所以在兩段函數(shù)中分別求出盈利大于零的時候產(chǎn)品數(shù)量的范圍，及可求得結(jié)論.
(2)通過二次函數(shù)的最值的求法即可得到盈利最大值時對應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)x的值，本小題單位的轉(zhuǎn)化也是易錯點.
試題解析：依題意得，設(shè)利潤函數(shù)為，則，
所以 （1）要使工廠有盈利，則有f(x)＞0，因為
f(x)＞0?，
⇒⇒
⇒或，   即. 
所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺小于1050臺的范圍內(nèi)
（2）當(dāng)時，
故當(dāng)x＝6時，f(x)有最大值4.5.而當(dāng)x＞7時，.
所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺產(chǎn)品時，盈利最大．
考點：1.分段函數(shù)的應(yīng)用.2.函數(shù)的最值.3.實際問題的構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決.