Question

已知數(shù)列+n-4_n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明：當(dāng)λ≠-18時，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）假設(shè)存在一個實數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，由題意知（）²=²，矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由題設(shè)條件知b₁=-（λ+18）≠0.，故當(dāng)λ≠-18，時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由題設(shè)條件得，，由此入手能夠推出存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．
解答：解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₂，即
（）²=²，矛盾．
所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）證明：∵
=
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知，
故當(dāng)λ≠-18，時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）當(dāng)λ≠-18時，由（Ⅱ）得，
于是，
當(dāng)λ=-18時，b_n=0，從而S_n=0．上式仍成立．
要使對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12．
即
令
當(dāng)n為正奇數(shù)時，當(dāng)n為正偶數(shù)時，，∴
于是可得
綜上所述，存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．
點評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用．