Question

已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F(1，0)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

   （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （II）若P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；

   （III）當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)S，使得?為常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知，c=1，又e==，解得a=

所以b²=a²-c²=1

所以橢圓的方程為+ y²=1.

   （II）設(shè)P(x₀,y₀),則，所以2=2 -.

所以|PO|²+|PF|²=++( x₀-1)²+=( x₀-1)²+2

因?yàn)?i>x₀∈[-,],所以

當(dāng)x₀= -時(shí)，|PO|²+|PF|²取得最大值(--1)²+2=5+2;

當(dāng)x₀= 1時(shí)，|PO|²+|PF|²取得最小值2.

   （III）若直線(xiàn)l不垂直于x軸，可設(shè)l的方程為y=k(x-1)．

由

得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

△=16k⁴-4(1+2k²)(2k²-2)=8k²+8>0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

x₁+ x₂=，x₁ x₂=.

設(shè)S(t，0)，則=( x₁-t,y₁)，=( x₂-t,y₂),

=(x₁-t)(x₂-t)+ y₁ y₂

= x₁ x₂- t(x₁+ x₂)+ t ²+k²(x₁-1)(x₂-1)

=(1+ k²) x₁ x₂-( t +k²)( x₁+ x₂)+ t ²+k²

=(1+ k²)-( t +k²)+ t ²+k²

=

=

要使得=λ(λ為常數(shù))，只要=λ，

即()k² + (t²-2 -λ)=0.  (*)

對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，要使(*)式恒成立，只要

解得

若直線(xiàn)l垂直于x軸，其方程為x=1．

此時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓兩交點(diǎn)為A(1，)、B(1,一),

取點(diǎn)S(，0)，有=(-,),=(-,-),

=(-)×(-)+×(-)

==λ .

綜上所述，過(guò)定點(diǎn)F(1，0)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在定點(diǎn)S(，0)，使得=.