已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上， = +，求橢圓的方程.

+y2=1


解析:

由e=得a2=4b2,橢圓可化為:

x2+4y2=4b2.

將y=x+1代入上式，消去y并整理得：

x2+2x+2-2b2=0.                                                                                         ①

∵直線y=x+1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，

∴Δ=4-4（2-2b2）＞0,∴b＞.

設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),則由

= +,

得.

∵M(jìn)在橢圓上，∴（x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,

∴x1x2+4y1y2=0.

∴x1x2+·4=0，

即x1x2+(x1+x2)+2=0                                                      ②

又由①知x1+x2=-2,x1·x2=2-2b2,

代入②中得b2=1,滿足b＞.

∴橢圓方程為+y2=1.

練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓=1(a＞b＞0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,O是原點(diǎn).若橢圓上存在一點(diǎn)M,使MA⊥MO,求橢圓離心率e的取值范圍.

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已知橢圓+=1(a＞b＞0)與雙曲線-=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是(    )

A.              B.             C.                 D.

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已知橢圓+=1(a＞b＞0)內(nèi)有一點(diǎn)A,F1為左焦點(diǎn),F2為右焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)P,使|PF1|+|PA|取得最值.

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已知橢圓+=1 (a>b>0)的兩準(zhǔn)線間的距離為，離心率為，則橢圓的方程為(    )

A. +=1                                      B. +=1

C. +=1                                      D. +=1

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