【題目】已知三棱錐中， ， 為的中點， 為的中點，且為正三角形.

（1）求證： 平面；

（2）若，求點到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正三角形三線合一，可得，利用三角形中位線定理及空間直線夾角的定義可得，由線面垂直的判定定理可得平面，即，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面；（2）記點到平面的距離為，則有，分別求出的長，及和面積，利用等積法可得答案.

試題解析：（1）證明：如圖，∵為正三角形，且為的中點，

∴.

又∵為的中點， 為的中點，

∴,∴.

又已知,

∴平面,∴.

又∵,

∴平面.

（2）解：法一：記點到平面的距離為，則有

∵ ∴，

又,∴，

∴，又，∴，

在中， ，又∵，

∴，

∴，∴

即點到平面的距離為.

法二：∵平面平面且交線為，過作，則平面， 的長為點到平面的距離；

∵，∴，又，∴，∴.

又，

∴，

∴，即點到平面的距離為.

【方法點晴】本題主要考查的是線面垂直、棱錐的體積公式以及“等積變換”的應用，屬于中檔題．解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）設過兩點的直線的斜率為，其中、為曲線上的任意兩點，并且，若恒成立，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，且 ，f（0）=0
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求證：方程f（x）=lnx至少有一根在區(qū)間（1，3）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在某商業(yè)區(qū)周邊有 兩條公路和，在點處交匯，該商業(yè)區(qū)為圓心角，半徑3的扇形，現(xiàn)規(guī)劃在該商業(yè)區(qū)外修建一條公路，與，分別交于，要求與扇形弧相切，切點不在，上.

（1）設試用表示新建公路的長度，求出滿足的關(guān)系式，并寫出的范圍；

（2）設，試用表示新建公路的長度，并且確定的位置，使得新建公路的長度最短.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知自變量x，y滿足則當3≤S≤5時，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直線坐標系中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為.

（1）直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）設點在上， 在處的切線與直線垂直，求的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中,武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是.

（1）求油罐被引爆的概率；

（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊,設射擊次數(shù)為,求的分布列及.( 結(jié)果用分數(shù)表示)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（0，﹣2），橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓的焦點，直線AF的斜率為 ，O為坐標原點． （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足條件an+1= ．
（1）若a1= ，求a2 ， a3 ， a4的值．
（2）已知對任意的n∈N+ ， 都有an≠1，求證：an+3=an對任意的正整數(shù)n都成立；
（3）在（1）的條件下，求a2015 ．

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