Question

【題目】如圖所示，取同離心率的兩個(gè)橢圓成軸對(duì)稱內(nèi)外嵌套得一個(gè)標(biāo)志，為美觀考慮，要求圖中標(biāo)記的①、②、③）三個(gè)區(qū)域面積彼此相等.（已知：橢圓面積為圓周率與長(zhǎng)半軸、短半軸長(zhǎng)度之積，即橢圓面積為）

（1）求橢圓的離心率的值；

（2）已知外橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，用直角角尺兩條直角邊內(nèi)邊緣與外橢圓相切，移動(dòng)角尺繞外橢圓一周，得到由點(diǎn)M生成的軌跡將兩橢圓圍起來(lái)，整個(gè)標(biāo)志完成.請(qǐng)你建立合適的坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系,由對(duì)稱性只需，所以，化簡(jiǎn)即得橢圓的離心率的值；（2）同（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系，先求出外橢圓方程為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)直線和橢圓相切得到，即得點(diǎn)M的軌跡方程.

（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)外橢圓的方程為，因?yàn)閮?nèi)外橢圓有相同的離心率且共軸，

所以內(nèi)橢圓的方程為.

圖中標(biāo)記的①、②、③三個(gè)區(qū)域面積彼此相等，由對(duì)稱性只需，

即即

所以.

（2）同（1）建立如圖平面直角坐標(biāo)系，由于外橢圓長(zhǎng)軸為6，

所以，，所以，.

所以外橢圓方程為.

設(shè)點(diǎn)，切線方程為代入橢圓方程得：

[

直線和橢圓相切

化簡(jiǎn)得

因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以，

即，

即

當(dāng)兩切線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，四點(diǎn)也滿足方程，

所以軌跡方程為.