Question

下列兩題選做一題．
（甲）已知橢圓短軸長為2，中心與拋物線y²=4x的頂點(diǎn)重合，橢圓的一個焦點(diǎn)恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求橢圓方程及其長軸的長．
（乙）已知菱形的一對內(nèi)角各為60°，邊長為4，以菱形對角線所在的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，以菱形60°角的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，并且過菱形的另外兩個頂點(diǎn)作橢圓，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（甲）根據(jù)橢圓的一個焦點(diǎn)恰是此拋物線的焦點(diǎn)，可求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，和判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，及c的值，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓方程及其長軸的長；
（乙）由橢圓的焦點(diǎn)是菱形60°角的兩個頂點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知2a=8，由圖及已知條件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出橢圓方程．

解答：（甲）解：設(shè)所求之橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵2b=2，∴b=1．
由拋物線方程y²=4x可知它的焦點(diǎn)而（1，0），
所以點(diǎn)（1，0）也是橢圓的一個焦點(diǎn)，
于是c=1，從而a2=b2+c2=2，a=

2

，
故所求之橢圓方程為

x2

2

+y2=1，長軸的長為2

2

．

（乙）解：設(shè)以菱形內(nèi)角為60⁰的一對頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對角線所在的直線為X軸，
建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由圖及已知條件可得
b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．
故所求之橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評：此題是個基礎(chǔ)題．考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程即簡單的幾何性質(zhì)，應(yīng)用了待定系數(shù)法求橢圓方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．