Question

下列兩題選做一題．
（甲）已知橢圓短軸長為2，中心與拋物線y²=4x的頂點重合，橢圓的一個焦點恰是此拋物線的焦點，求橢圓方程及其長軸的長．
（乙）已知菱形的一對內(nèi)角各為60°，邊長為4，以菱形對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系，以菱形60°角的兩個頂點為焦點，并且過菱形的另外兩個頂點作橢圓，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（甲）根據(jù)橢圓的一個焦點恰是此拋物線的焦點，可求出橢圓的焦點坐標，和判斷橢圓標準方程的形式，及c的值，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓方程及其長軸的長；
（乙）由橢圓的焦點是菱形60°角的兩個頂點，根據(jù)橢圓的定義可知2a=8，由圖及已知條件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出橢圓方程．
解答：（甲）解：設所求之橢圓方程為
∵2b=2，∴b=1．
由拋物線方程y²=4x可知它的焦點而（1，0），
所以點（1，0）也是橢圓的一個焦點，
于是c=1，從而，
故所求之橢圓方程為，長軸的長為．

（乙）解：設以菱形內(nèi)角為60的一對頂點為端點的對角線所在的直線為X軸，
建立直角坐標系．
設橢圓方程為．
由圖及已知條件可得
b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．
故所求之橢圓方程為．
點評：此題是個基礎題．考查橢圓的定義和標準方程即簡單的幾何性質，應用了待定系數(shù)法求橢圓方程，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法．