【題目】

已知點A(2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AMBM的斜率之積為.M的軌跡為曲線C.

1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

2)過坐標原點的直線交CPQ兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.

i)證明:是直角三角形;

ii)求面積的最大值.

(二)選考題:共10請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分

【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】

1)分別求出直線AMBM的斜率,由已知直線AMBM的斜率之積為,可以得到等式,化簡可以求出曲線C的方程,注意直線AMBM有斜率的條件;

2)(i)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出P,Q兩點的坐標,進而求出點的坐標,求出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標,再求出直線的斜率,計算的值,就可以證明出是直角三角形;

ii)由(i)可知三點坐標,是直角三角形,求出的長,利用面積公式求出的面積,利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.

1)直線的斜率為,直線的斜率為,由題意可知:,所以曲線C是以坐標原點為中心,焦點在軸上,不包括左右兩頂點的橢圓,其方程為

2)(i)設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,,P在第一象限,所以,因此點的坐標為

直線的斜率為,可得直線方程:,與橢圓方程聯(lián)立,,消去得,*),設(shè)點,顯然點的橫坐標是方程(*)的解

所以有,代入直線方程中,得

,所以點的坐標為,

直線的斜率為; ,

因為所以,因此是直角三角形;

ii)由(i)可知:,

的坐標為

,

,因為,所以當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,因此當時,函數(shù)有最大值,最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知橢圓,該橢圓經(jīng)過點,且離心率為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設(shè)是圓上任意一點,由引橢圓的兩條切線,當兩條切線的斜率都存在時,證明:兩條切線斜率的積為定值.

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【題目】某班進行了次數(shù)學(xué)測試,其中甲、乙兩人的成績統(tǒng)計情況如莖葉圖所示:

(I)該班數(shù)學(xué)老師決定從甲、乙兩人中選派一人去參加數(shù)學(xué)比賽,你認為誰去更合適?并說明理由;

(II)從甲的成績中人去兩次作進一步的分析,在抽取的兩次成績中,求至少有一次成績在之間的概率.

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【題目】在直三棱柱中,,過的截面與面交于

1)求證:

2)若截面過點,求證:

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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底 的中點。

1)證明:直線平面;

2)點在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。

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【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,,的中點,.

(1)求證:平面

(2)若,,點在側(cè)棱上,且,二面角的大小為,求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)性;

設(shè),對任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;

求證:當時,

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【題目】為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,新苗中學(xué)數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的名學(xué)生進行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于小時的有人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績不足分的占,統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表:

分數(shù)大于等于

分數(shù)不足

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

)請完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”.

)(i)按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分數(shù)大于等于分和分數(shù)不足分的兩組學(xué)生中抽取名學(xué)生,設(shè)抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數(shù)為,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示).

(ii)若將頻率視為概率,從全校大于等于分的學(xué)生中隨機抽取人,求這些人中周做題時間不少于小時的人數(shù)的期望和方差.

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在等腰梯形ABCD中,,E,FAB的三等分點,且分別沿DECF折起到AB兩點重合,記為點P

證明:平面平面PEF;

,求PD與平面PFC所成角的正弦值.

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